Método de la bisección para encontrar raíces de funciones en Microsoft Excel

Método de la bisección para encontrar raíces de funciones en Microsoft Excel...


Método de la Bisección
El método de la bisección o corte binario es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio de signo. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación.

Algoritmo

Paso 1

Elegir los valores iniciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo:

f(Xa)f(Xb) < 0


Paso 2

La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio de esta forma:



Paso 3

Realizar las siguientes evaluaciones para determinar el intervalo de la raíz:

Si f(Xa)f(Xb) < 0, entonces la solución o raíz está entre Xa y Xpm, y Xb pasa a ser el punto medio (Xpm).
Si f(Xa)f(Xb) > 0, entonces la solución o raíz está fuera del intervalo entre Xa y el punto medio, y Xa pasa a ser el punto medio (Xpm).
Paso 4

Si f(Xa)f(Xb) = 0 ó Error = | Xpm – Xpm – 1 | < Tolerancia

Donde Xpm es el punto medio de la iteración actual y Xpm – 1 es el punto medio de la iteración anterior.

Al cumplirse la condición del Paso 4, la raíz o solución es el último punto medio que se obtuvo.

Para el error relativo porcentual se tiene la siguiente fórmula:



Programa para encontrar raíces utilizando el método de la bisección en Microsoft Excel

A manera de recordatorio, para que aparezcan solamente 6 cifras significativas, en Excel esto se hace en el menú Formato, Celdas…, Número, Categoría Número, Posiciones decimales 6. Para poner el signo porcentual: menú Formato, Celdas…, Número, Categoría Porcentaje.


EJEMPLO 1


Encontrar la raíz de f(x) = x^10 – 1 utilizando el Método de la Bisección con a = 0; b = 1.3; Tol = 0.01





Gráfico de la Función






La raíz aproximada de la función es 1.000391 con un error de 0.01.

Como se puede apreciar en la gráfica, la raíz exacta de la función es de 1, pero con 8 iteraciones se llegó a 1.000391. Si se continuara con más iteraciones, se podría llegar a un valor aun más cercano al 1 exacto, pero el error tendría en ese caso que ser menor que 0.01, que es el 1%.


EJEMPLO 2

Resolver utilizando el método de la Bisección.





Gráfico de la Función




La raíz aproximada de la función es 1.054688 con un error de 0.001.

EJEMPLO 3

Resolver utilizando el método de Bisección.





Gráfico de la Función




La raíz aproximada de la función es 0.361328 con un error de 0.001.

FÓRMULAS PARA PROGRAMAR EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN EN MICROSOFT EXCEL
En la tabla que se presentará a continuación, no aparecen las fórmulas para cada una de las celdas porque serían demasiadas fórmulas. Basta con presentar algunas y todas las demás se deducen fácilmente. Además, al estar trabajando en Excel, bastará con copiar y luego pegar las fórmulas o celdas de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demás filas serán las mismas, y Excel automáticamente irá cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada. La tabla de fórmulas utilizada es la siguiente:

Celda
Fórmula

B15
= 1

D15
= 2

F15
= 0.001

A18
= 1

B18
= B15

C18
= D15

D18
= PROMEDIO (B18:C18) ó PROMEDIO(B18,C18)

E18
= 2.718281828^(-B18)+4*(B18)^(3)-5

F18
= 2.718281828^(-C18)+4*(C18)^(3)-5

G18
= 2.71828182^(-D18)+4*(D18)^(3)-5

A19
= A18+1

B19
= SI(B18*G18>0,D18,B18)

C19
= SI(B19=D18,C18,D18)

D19
= PROMEDIO(B19,C19)

E19
= 2.718281828^(-B19)+4*(B19)^(3)-5

F19
= 2.718281828^(-C19)+4*(C19)^(3)-5

G19
= 2.718281828^(-D19)+4*(D19)^(3)-5

H19
= ABS(D19-D18)

I19
= H19/D19

J19
= SI(I19<=F$3,D19,"")

J24
SI(I19<=F$3,D24,"")